Encontrar la tasa de crecimiento para cada año,
cuando se conoce las poblaciones correspondientes

Caso 4
Dado el número de habitantes de una ciudad en diferentes años,
encontrar las tasas anuales de crecimiento y
su porcentaje anual de aumento o disminución
Solución utilizando el modelo matemático

El registro del número de habitantes de una ciudad en los años de 1993 a 1995 es el siguiente:
En 1993, 840,230 habitantes.
En 1994, 873,000 habitantes
En 1995, 904,664 habitantes
Encontrar la tasa de crecimiento para los años de 1993 y 1994. Encontrar también el porcentaje de aumento o de disminución de la tasa de crecimiento.

En muchos problemas el dato disponible es el número de elementos de una poblacion en diferentes años. Esta información se obtiene utilizando diferentes métodos de conteo, como los censos.

Tasa de crecimiento en el año 1993
Se conoce que la población de 1994, es la población de 1993 más el aumento de población producido durante el año. El aumento de población del año, es la población de 1993 multiplicada por la tasa del año expresada en decimales.
P₁₉₉₄= P₁₉₉₃ + a₁₉₉₃      al despejar el aumento a₁₉₉₃ se llega a la siguiente ecuación,
a₁₉₉₃ = P₁₉₉₄ - P₁₉₉₃       sustituyendo los valores de P₁₉₉₄ y P₁₉₉₃ se tiene,
a₁₉₉₃ = 873,000 - 840,230
a₁₉₉₃ = 32,770

Conociendo que el aumento es, la población de 1993 multiplicada por la tasa en decimales, al dividir el aumento entre la población de 1993 se obtendría la tasa del año 1993, expresada en decimales.
a₁₉₉₃ = P₁₉₉₃ * r₁₉₉₃
r₁₉₉₃ = a₁₉₉₃/ P₁₉₉₃       sustituyendo los valores de a₁₉₉₃ y P₁₉₉₃ se tiene,
r₁₉₉₃ =32,770 / 840,230
r₁₉₉₃ = 0.0390012258
Ya que la tasa está expresada en decimales se puede pasar a porcentaje solo multiplicándola por 100.
La tasa de 1993 es de 3.90012258%.
Redondeando la cantidad, tenemos que la tasa de crecimiento del año 1993 es de 3.9% anual.

Tasa de crecimiento en el año de 1994
Para obtener el valor de la tasa de crecimiento de 1994, sabemos que la población de 1995, es la población de 1994 más el aumento poblacional producido durante el año.
P₁₉₉₅= P₁₉₉₄ + a₁₉₉₄        al despejar  a₁₉₉₄  se llega a la siguiente ecuación,
a₁₉₉₄ = P₁₉₉₅ - P₁₉₉₄       sustituyendo P₁₉₉₅ y P₁₉₉₄  por sus respectivos valores queda
a₁₉₉₄ = 904,664 - 873,000
a₁₉₉₄ = 31,664
El aumento de población durante el año 1994 fue de 31,664 habitantes.

Sabemos además que el aumento del año 1994 es, la población de 1994 multiplicada por la tasa de crecimiento del año.
a₁₉₉₄ = P₁₉₉₄ * r₁₉₉₄
Al dividir el aumento entre la población de 1994 se obtiene la tasa de crecimiento.
r₁₉₉₄ = a₁₉₉₄ / P₁₉₉₄        sustituyendo a₁₉₉₄  y P₁₉₉₄ por sus respectivos valores se tiene
r₁₉₉₄ = 31,664 / 873,000
r₁₉₉₄ = 0.0362703
La tasa 0.0362703 esta expresada en decimales, para dar la respuesta hay que expresarla en porcentaje.
La tasa de crecimiento durante el año de 1994 es de 3.627% anual.

Nota: Para obtener la tasa de 1995 se necesitaría conocer la población en el año 1996

Porcentaje de cambio en la tasa de crecimiento.
La tasa de crecimiento en 1993 es de 3.9% y la de 1994 es de 3.627%. Se desea encontrar el porcentaje de cambio en la tasa de crecimiento.
Como se tienen tasas positivas, se usa la fórmula R_t = R_t-1 ( 1 + b ) . En ésta se debe de despejar b para encontrar el porcentaje de cambio en la tasa.
R_t = R_t-1 ( 1 + b )
R₁₉₉₄ = R₁₉₉₃ ( 1 + b )    al pasar R₁₉₉₃ dividiendo al primer miembro de la ecuación se tiene,
R₁₉₉₄ / R₁₉₉₃ = 1 + b       pasando el 1 restando queda la ecuación
(R₁₉₉₄ / R₁₉₉₃) – 1 = b    o bien,
b = ( R₁₉₉₄ / R₁₉₉₃ ) – 1    sustituyendo los valores de R₁₉₉₄ y de R₁₉₉₃ queda la ecuación
b = ( 3.627 / 3.9 ) – 1
b = 0.93 – 1
b = – 0.07
El cambio en la tasa de crecimiento es de – 7%, o bien, la tasa disminuyó un 7%.

Deducción de fórmula para encontrar la tasa de crecimiento para cierto año t, cuando se conoce la población de este año y la del año siguiente

Fórmula para encontrar la tasa de crecimiento para cierto año t, cuando se conoce la población de este año y la del año siguiente

Deducción de fórmulas para encontrar el porcentaje de cambio en la tasa de crecimiento

Fórmulas para encontrar el porcentaje de cambio en la tasa de crecimiento

Solución utilizando fórmulas

Solución utilizando las fórmulas en Excel