| Estimación de población y tasa de crecimiento
Caso 1
Población de un estado en donde la tasa de
crecimiento
disminuye un cierto porcentaje por año
Solución para tres años utilizando el modelo
matemático.
En un estado de la República Mexicana se
tenía en 1998 una población de 3,250,000 habitantes. Se inicia un "Programa de
paternidad responsable" que propone reducir la tasa de crecimiento anual, en un 3%
por cada año, durante los siguientes 15 años. La tasa anual de crecimiento del estado en
1998 era de 4.2%. Si se cumple el pronóstico de reducción de la tasa de crecimiento,
determine la población del estado al término de los 15 años.
Primer año (1999)
Para encontrar la población después de un año se suma la población inicial
(3,250,000), más el aumento producido durante el año. El aumento de población durante
el primer año es la población del año anterior (3,250,000) multiplicada por la
tasa de crecimiento del año expresada en decimales (0.042).
P1 = P0 + a1
ya que el
aumento es a1 = P0 x r0, al sustituirlo en la fórmula
queda,
P1 = P0 + P0 x r0
sacando P0 de factor común queda,
P1 = P0 (1 + r0)
sustituyendo P0 y r0
por sus respectivos valores se tiene,
P1 = 3,250,000 (1 + 0.042)
P1 = 3,250,000 (1.042)
P1 = 3,386,500
La población después de un año = 3,386,500 o bien,
La población en el año 1999 es de 3,386,500.
Segundo año (2000)
Para obtener el aumento de población que se da durante el segundo año, hay que encontrar
primero la tasa de crecimiento para ese año. Esta disminuye un 3% por año y era de 4.2%.
Si Rt es la tasa de crecimiento del año t, expresada en porcentaje y rt en
decimales se tiene que:
La tasa de crecimiento del segundo año es la tasa del primer año (R0) menos
la disminución del 3%. La disminución es la tasa del año anterior (R0 = 4.2)
por 0.03, que es el porcentaje de disminución de la tasa, expresado en decimales.
R1 = R0 – R0*(0.03)
sacando R0 de factor común se
obtiene,
R1 = R0 (1 - 0.03)
R1 = R0(0.97)
sustituyendo R0 por su valor queda,
R1 =4.2 (0.97)
R1 = 4.074
La tasa anual de crecimiento durante el segundo año es de 4.074%.
La población después de dos años es, la población después de un
año (3,386,500) más el aumento de habitantes dado durante el año. El aumento de
población que se produce durante el segundo año es, la población después del primer
año (3,386,500), por la tasa de crecimiento del año expresada en decimales (0.04074 ).
P2 = P1 + a2
ya que el aumento
es a2 = P1 * r1, al sustituirlo en la fórmula queda,
P2 = P1 + P1 * r1
sacando P1 de factor común se tiene,
P2 = P1 (1 + r1)
sustituyendo P1 y r 1 por sus respectivos valores se tiene,
P2 = 3,386,500 (1 + 0.04074)
P2 = 3,386,500 (1.04074)
P2 = 3,524,466.01
La población después de dos años = 3,524,466 o bien,
La población en el año 2000 será de 3,524,466 habitantes.
Tercer año (2001)
La tasa de crecimiento después de dos años (R2) es, la tasa de
crecimiento después de un año (R1), menos la disminución del 3%. La
disminución es, la tasa después de un año (R1 = 4.074) multiplicada por
0.03.
R2 = R1 - R1*0.03
sacando r1 de
factor común,
R2 = R1 (1 – 0.03)
R2 = R1 (0.97)
sustituyendo R1 por su valor queda que,
R2 = 4.074 (0.97)
R2 = 3.95178
La tasa anual de crecimiento después del segundo año es 3.95178
La población después de tres años es: la población después de dos años (3,524,466),
más el aumento que se dio durante el año . El aumento de población durante el tercer
año es, la población después de dos años (3,524,466), multiplicada por la tasa de
crecimiento después de dos años, expresada en decimales
(r2=0.0395178).
P3 = P2 + a3
ya
que el aumento durante el tercer año es a3= P2 * r2
quedaría,
P3 = P2 + P2 * r2
sacando como factor P2
se tiene,
P3 = P2 (1+ r2)
sustituyendo
P2 y r2 por sus respectivos valores queda,
P3 = 3,524,466 (1 + 0.0395178)
P3 = 3,524,466 (1.0395178)
P3 = 3,663,745.14
La población después de tres años =3,663,745
La población estimada para el año 2001 es de 3,663,745 habitantes.
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Observación |
En el tema anterior se vio que la representación algebraica del modelo
matemático en un Crecimiento Poblacional Compuesto es Pt=Pt-1( 1
+ r ) .
En el modelo de tasa cambiante, seguimos teniendo un Crecimiento Poblacional Compuesto y
por lo tanto se conserva la misma representación algebraica, la única diferencia es que
en lugar de tener una tasa fija r, tenemos una tasa que cambia cada año rt-1 .
La representación algebraica para un modelo de Crecimiento Poblacional Compuesto con tasa
cambiante es Pt=Pt-1( 1 + rt-1 ), como se
puede observar en el desarrollo de la solución utilizando el modelo, para el Caso 1.
Solución
utilizando el modelo matemático en Excel
Práctica
de autoevaluación 2
Deducción de fórmula para encontrar la tasa de
crecimiento en cualquier año t, cuando se trabaja con tasas positivas y éstas cambian en
un mismo porcentaje cada año.
Fórmulas para encontrar la tasa de crecimiento en
cualquier año t, cuando se trabaja con tasas positivas que cambian en un mismo porcentaje
cada año. |