Deducción
de la fórmula para encontrar la tasa de crecimiento
en cualquier año t, cuando se trabaja con tasas positivas
y éstas cambian en un mismo porcentaje cada año.
Al tener tasas positivas que aumentan o
disminuyen en un mismo porcentaje cada año, se puede deducir fácilmente una fórmula
para obtener la tasa en cualquier año t. Ésta fórmula es muy semejante a la de
Crecimiento Poblacional Compuesto.
La tasa de crecimiento en cualquier año t ( Rt ) es la suma de la tasa del
año anterior ( Rt-1 ) con el aumento de la tasa en el año. El aumento de la
tasa en el año es el producto de multiplicar la tasa del año anterior
(Rt-1) por el porcentaje de cambio en la tasa ( b ) expresado en decimales.
Si hay un aumento en la tasa b es positivo y si hay una disminución es negativo.
Rt = Rt-1 + Rt-1 x b al sacar de factor común Rt-1
queda la ecuación,
Rt = Rt-1 ( 1 + b )
Primer año
La tasa de crecimiento después de un año sería la ecuación anterior aplicada para t =
1.
R1 = R0 ( 1 + b )
La tasa de crecimiento después de un año es
………………………. R1 = R0 ( 1
+ b )
Segundo año.
La tasa de crecimiento después de dos años sería:
R2 = R1( 1 + b ) al sustituir R1 por el valor obtenido en
la ecuación anterior se tiene,
R2 = R0 ( 1 + b )( 1 + b ) o bien,
R2 = R0 ( 1 + b )2
La tasa de crecimiento después de dos años es
…………………… R2 = R0 ( 1 + b )2
Tercer año.
La tasa de crecimiento después de tres años es:
R3 = R2 ( 1 + b ) al sustituir R2 por su valor, obtenido
en la ecuación anterior se tiene,
R3 = R0 ( 1 + b )2( 1 + b ) o bien,
R3 = R0 ( 1 + b )3
La tasa de crecimiento después de tres años es
…………………… R3 = R0 ( 1 + b )3
Al observar en las ecuaciones la relación que hay entre el exponente y el año del
cual buscamos la tasa, se ve que éstos son iguales. Se puede deducir entonces que:
La tasa de crecimiento después de t años
es…………………….. Rt = R0 ( 1 + b
)t
La fórmula para obtener la tasa de crecimiento en cualquier año t, cuando se trabaja
con tasas positivas y se conoce la tasa inicial y el porcentaje anual de cambio en la tasa
es:
Rt = R0 ( 1 + b )t
en donde,
R0 es la tasa inicial.
t número de años transcurridos después del año
inicial.
Rt la tasa después de t años.
b el porcentaje anual de cambio en la tasa, expresado en
decimales.
Fórmulas para encontrar la tasa de crecimiento en
cualquier año t, cuando se trabaja con tasas positivas que cambian en un mismo porcentaje
cada año. |