Tasa de
Crecimiento negativa
Caso 3
Encontrar la población y la tasa de
crecimiento del municipio de
Agualeguas N.L.
Solución para 3 años utilizando el modelo matemático.
En el municipio de Agualeguas N.L. se
tenía en 1995 una población de 4,492 habitantes. La tasa de crecimiento para ese año
fue de –2.20%. Si la tasa aumenta a razón de 5% cada año, encuentre la población y
la tasa de crecimiento para el año 2005.
En la representación algebraica del modelo matemático para un Crecimiento Poblacional
Compuesto con tasa cambiante se tiene que Pt = Pt-1( 1 + rt-1
). Esta representación será utilizada en la solución para tres años.
Primer año (1996)
La población después de un año ( P1) es la población inicial ( P0
= 4,492 ) más el aumento de población producido durante el año. El aumento producido
durante el primer año es el producto de multiplicar la población inicial ( P0
= 4,492) por la tasa del año expresada en decimales (r0 = – 0.022).
P1 = P0 + P0*r0
sacando P0 de factor común
queda la ecuación,
P1 = P0 ( 1 + r0)
ésta es la representación algebraica del modelo
para el primer año. Al sustituir los valores de P0 y r0 queda la
ecuación,
P1 = 4,492 (1 – 0.022 )
P1 = 4,492 ( 0.978 )
P1 = 4393.176
La estimación del número de habitantes de Agualeguas para el año 1996 es de 4,393
Segundo año (1997)
Para hacer una estimación de la población en 1997 se tiene que calcular primero la tasa
de crecimiento del año.
Si se tiene una tasa negativa, la fórmula Rt = Rt-1( 1 + b
) NO es válida, como se puede observar en la
siguiente deducción.
Se sabe que la tasa en 1995 era de – 2.2% y que aumenta un 5% cada año.
Para obtener la nueva tasa (R1), se suma la tasa anterior ( R0 =
– 2.2%) mas el aumento en la tasa. El aumento en la tasa sería el producto de
multiplicar la tasa anterior( R0 = – 2.2%) por el porcentaje de cambio
expresado en decimales ( b = 0.05 ).
R1 = R0 + R0*b
aumento en la tasa = R0*b
aumento en la tasa = ( – 2.2 )*(0.05)
aumento en la tasa = – 0.11
Sabemos que existe un aumento de un 5% en la tasa y por lo tanto ésta cantidad no debe
ser negativa pues se tendría una disminución en lugar de un aumento. El aumento real en
la tasa es 0.11 y no – 0.11 .
La nueva tasa sería:
R1 = – 2.2 + 0.11
R1 = – 2.09
Para no tener que estar cambiando el signo cada vez que se tiene una tasa negativa,
podemos restar en la fórmula, en lugar de sumar. De ésta manera se produce el cambio de
signo en forma automática, para obtener el resultado deseado.
R1 = R0 – R0*b
sacando de factor
común R0 se tendría
R1 = R0 ( 1 – b )
al sustituir R0 y b por
sus valores se tiene,
R1 = – 2.2 ( 1 – 0.05 )
R1 = – 2.2 ( 0.95 )
R1 = – 2.09
Utilizando el valor de la nueva tasa en decimales (r1 = – 0.0209 ) y la
representación algebraica del modelo de Crecimiento Poblacional Compuesto con tasa
cambiante Pt = Pt-1( 1 + rt-1 ), podemos
obtener la población después de dos años de la siguiente manera:
P2 = P1 ( 1 + r1 )
sustituyendo los valores de P1
y de r1 queda la ecuación
P2 = 4393 ( 1 – 0.0209 )
P2 = 4393 ( 0.9791 )
P2 = 4301.19
La estimación del número de habitantes de Agualeguas para el año 1997 es de 4,301
Tercer año ( 1998 )
Ya que R1 es negativa, para obtener la tasa después de dos años R2,
se tiene que restar en la fórmula en lugar de sumar.
R2 = R1( 1 – b )
sustituyendo los valores de R1
y de b se llega a la ecuación
R2 = – 2.09 ( 1 – 0.05 )
R2 = – 2.09 ( 0.95 )
R2 = – 1.9855
La población después de tres años P3 sería:
P3 = P2 ( 1 + r2 )
sustituyendo P2 y r2 por sus respectivos valores se tiene,
P3 = 4301 ( 1 – 0.019855 )
P3 = 4301 ( 0.980145 )
P3 = 4215.60
La estimación del número de habitantes de Agualeguas para el año 1998 es de 4,216
Fórmulas
para encontrar la tasa de crecimiento en cierto año t, cuando se trabaja con tasas
negativas que cambian un mismo porcentaje cada año
Solución
utilizando Excel
Práctica
de autoevaluación 5 |