Deducción de la fórmula para ventas con crecimiento simple

En la deducción de la fórmula se utilizarán las ecuaciones de la representación algebraica del modelo simple para ventas.
V_t = U_t x P y U_t = U_t-1 + i

Primer año.
Aplicando la ecuación de ventas V_t = U_t x P de la representación algebraica del modelo, para t = 1, se llega a la expresión:
V₁ = U₁ x P
Las ventas del primer año son ………………………………. V₁ = U₁ x P

Segundo año.
Para calcular las ventas del segundo año (V₂), primero se obtiene el número de unidades vendidas en el año(U₂).
De acuerdo a la ecuación U_t = U_t-1 + i, de la representación algebraica, aplicada para t = 2 se tiene:
U₂ = U₁ + i esta ecuación representa el número de unidades vendidas en el segundo año.
Las ventas del segundo año de acuerdo a la ecuación V_t = U_t x P serían:
V₂ = U₂ x P sustituyendo U₂ por el valor encontrado en la ecuación anterior, se tiene
V₂ = (U₁ + i )P
Las ventas del segundo año son…………………………… V₂ = (U₁ + i )P

Tercer año.
El número de unidades vendidas en el tercer año, de acuerdo a la ecuación U_t = U_t-1 + i, aplicada para t =3 son:
U₃ = U₂ + i se tiene del segundo año que U₂ = U₁ + i , sustituyendo se llega a
U₃ = U₁ + i + i
U₃ = U₁ + 2 i
Las ventas del tercer año se calculan con la ecuación V_t = U_t x P de la representación algebraica del modelo, aplicándola para t = 3.
V₃ = U₃ x P sustituyendo U₃ por el valor obtenido en la ecuación anterior se tiene,
V₃ = (U₁ + 2 i)P
Las ventas en el tercer año son …………………………... V₃ = (U₁ + 2 i)P

Observando en la deducción la relación que existe entre el coeficiente de i y el año de las ventas, se puede concluir que las ventas en cualquier año t son:
V_t = [U₁ + (t – 1 ) i] P
Las ventas en el año t son ………………………………… V_t = [U₁ + (t – 1 ) i] P

El 1 en la fórmula representa el año en que empiezan las ventas. Con mucha frecuencia se trabaja en ventas con períodos de tiempo diferentes al anual, como mensual, bimestral, diario, etc. En estos casos si las ventas empiezan, por ejemplo, en el mes de marzo (mes 3), por comodidad operacional para los reportes anuales, no se empieza en el período 1 sino en el 3 que corresponde al tercer mes del año. Sustituyendo el 1 por el 3 en la fórmula queda la ecuación V_t = [U₃ + (t – 3 ) i] P . Esta fórmula nos da las ventas en cualquier período t cuando el período inicial es 3.

Podemos generalizar la fórmula para cualquier período de tiempo y se tendría:
Las ventas en cualquier período t están dadas por la fórmula V_t = [U_n + (t – n ) i] P
en donde n es el período inicial. Es muy importante observar que t es mayor que n, puesto que n marca el período de inicio de las ventas.

Entonces, cuando se tiene un crecimiento simple en ventas, las ventas en cualquier período t  (V_t), están dadas por la fórmula:

V_t = [U_n + (t-n)i] P

en donde,

n        es el período inicial.
U_n      es el número de unidades vendidas en el período n.
t         es el período final.
i         es el incremento anual de ventas en unidades.
P        es el precio por unidad.